Теорема Гурвица о нормированных алгебрах с делением

Теорема Гурвица о нормированных алгебрах — утверждение о множестве всех возможных алгебр с единицей, допускающих при введении скалярного произведения правило «норма произведения равна произведению норм» (нормированная алгебра). Установлена немецким математиком Гурвицем в 1898 году..

Любая нормированная алгебра с единицей изоморфна одной из четырех алгебр: действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов или октав.

Здесь нормированной алгеброй называется алгебра, для любых двух элементов





a




{\displaystyle a}


и





b




{\displaystyle b}


которой выполняется тождество





(


a


b


,


a


b


)


=


(


a


,


a


)


(


b


,


b


)




{\displaystyle (ab,ab)=(a,a)(b,b)}


, где





a


b




{\displaystyle ab}


 — произведение в алгебре,





(






,






)




{\displaystyle (\cdot ,\cdot )}


 — скалярное произведение.

Доказательство теоремы содержится в книге .